双钩函数高考-高中数学双勾函数

1.高考范围内与双钩函数有关的性质，图像等。总之越详细越好。

2.双钩函数 单调性 在高考中可以直接应用其单调性结论吗

3.双钩函数的运用，求最值怎么求

4.哪里有不常见的函数图像?抽象函数.....

高考范围内与双钩函数有关的性质，图像等。总之越详细越好。

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。

所谓的对勾函数（双曲线函数），是形如f(x)=ax+b/x（a>0)的函数。由图像得名。

图像

对勾函数的图像性质：

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线y=ax。

奇偶性单调性

当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a）时（sqrt表示求二次方根）

奇函数。

令k=，那么：

增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；

减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k}

变化趋势：在y轴左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。

渐近线

对勾函数的图像是分别以Y轴和y=ax为渐近线的两支双曲线。

双钩函数 单调性 在高考中可以直接应用其单调性结论吗

这不一定，没有一个标准，高考改卷，的尺度永远在阅卷组长的手里，什么叫政策谁的嘴大谁就是政策；

不过为了确认获满分，如果证明了，谁也扣不了你的分，不证明的话可以说清楚钩底的横坐标是多少，不过对钩函数的证明可以用导数证明是非常简单的，或者把导数求出来，求一下零点，再简单说明一下就完美了。

双钩函数的运用，求最值怎么求

所谓的对勾函数（双曲线函数），是形如f(x)=ax+b/x的函数。由图像得名。　当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）

高考例题

2006年高考上海数学试卷（理工农医类）已知函数 y=x+a/x 有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在 (0,√a] 上是减函数，在 ，[√a,+∞ )上是增函数．　（1）如果函数 y=x+(2^b)/x （x>0）的值域为 [6,+∞)，求b 的值；　（2）研究函数 y=x^2+c/x^2 （常数c >0）在定义域内的单调性，并说明理由；　（3）对函数y =x+a/x 和y =x^2+a/x^2（常数a >0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x) =(x^2+1/x)^n+(1/x^2+x)^n（x 是正整数）在区间[? ,2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）　当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值；当x<0时，f(x)=ax+b/x有最大值　f(x)=x+1/x　首先你要知道他的定义域是x不等于0　当x>0,　由均值不等式有：　f(x)=x+1/x>=2根号（x*1/x)=2　当x=1/x取等　x=1,有最小值是：2，没有最大值。　当x<0,-x>0　f(x)=-(-x-1/x)　<=-2　当－x=-1/x取等。　x=-1,有最大值，没有最小值。　值域是：（负无穷，-2）并（2，正无穷）　－－－－－－－－－－－－－－　证明函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)在x>0上的单调性 设x1>x2且x1，x2∈(0，+∝) 则f(x1)-f(x2)=(ax1+b/x1) -（ax2+b/x2） =a（x1-x2)-b（x1-x2）/x1x2 =（x1-x2）（ax1x2-b）/x1x2 因为x1>x2，则x1-x2>0 当x∈(0，√(b/a）)时，x1x2<b/a 则ax1x2-b<b-b=0 所以f(x1)-f(x2)<0，即x∈(0，√(b/a）)时，f(x)=ax+b/x单调递减； 当x∈(√(b/a），+∞)时，x1x2>b/a 则ax1x2-b>b-b=0 所以f(x1)-f(x2)>0，即x∈(√(b/a），+∞)时，f(x)=ax+b/x单调递增。

哪里有不常见的函数图像?抽象函数.....

抽象函数 一般形式为 y=f(x)且无法用数字和字母表示出来的函数，一般出现在题目中，或许有定义域、值域等。

山武补充：

1抽象函数常常与周期函数结合，如：

f(x)=-f(x+2)

f(x)=f(x+4)

2解抽象函数题，通常要用赋值法，而且高考数学中，常常要先求F（0） F（1）

抽象函数的经典题目！！！

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现；如2002年上海高考卷12题，2004年江苏高考卷22题，2004年浙江高考卷12题等。学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就这类问题的解法谈一点粗浅的看法。

一．特殊值法:在处理选择题时有意想不到的效果。

例1 定义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，y∈R)，当x<0时，, f (x)>0，则函数f (x)在[a,b]上 ( )

A 有最小值f (a) B有最大值f (b) C有最小值f (b) D有最大值f ( )

分析：许多抽象函数是由特殊函数抽象背景而得到的，如正比例函数f (x)= kx(k≠0)， , , ，可抽象为f (x + y) = f (x) +f (y)，与此类似的还有

特殊函数 抽象函数

f (x)= x f (xy) =f (x) f (y)

f (x)=

f (x+y)= f (x) f (y)

f (x)=

f (xy) = f (x)+f (y)

f (x)= tanx f(x+y)=

此题作为选择题可用特殊值函数f (x)= kx(k≠0)

∵当x <0时f (x) > 0即kx > 0。.∴k < 0，可得f (x)在[a,b]上单调递减，从而在[a,b]上有最小值f(b)。

二．赋值法．根据所要证明的或求解的问题使自变量取某些特殊值，从而来解决问题。

例2 除了用刚才的方法外,也可用赋值法

解:令y = -x，则由f (x + y) = f (x) + f (y) (x，y∈R)得f (0) = f (x) +f (-x)…..①,

再令x = y = 0得f(0)= f(0)+ f(0)得f (0)=0，代入①式得f (-x)= -f(x)。

得 f (x)是一个奇函数，再令 ，且 。

∵x <0，f (x) >0，而 ∴ ，则得 ，

即f (x)在R上是一个减函数，可得f (x)在[a,b]上有最小值f(b)。

例3 已知函数y = f (x)(x∈R，x≠0)对任意的非零实数 ， ，恒有f( )=f( )+f( ),

试判断f(x)的奇偶性。

解：令 = -1， =x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) ……①为了求f (-1)的值，令 =1， =-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令 = =-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) ∴f(-1)=0代入①式得

f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。

三．利用函数的图象性质来解题：

抽象函数虽然没有给出具体的解析式，但可利用它的性质图象直接来解题。

抽象函数解题时常要用到以下结论：

定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于x= 对称。

定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b+x)，则函数y=f(x)是一个周期函数，周期为a-b。

例4 f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)=f(2-x)，证明f(x)是周期函数。

分析：由 f(x)=f(2-x)，得 f(x)的图象关于x=1对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称，根据上述条件，可先画出符合条件的一个图，那么就可以化无形为有形，化抽象为具体。从图上直观地判断，然后再作证明。

由图可直观得T=2,要证其为周期函数，只需证f (x) = f (2 + x)。

证明：f (x) = f (-x) = f [2-(-x)] = f (2 + x)，∴ T=2。

∴f (x)是一个周期函数。

例5 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m)<f (m),求实数m的取值范围

分析：根据函数的定义域，-m，m∈[-2,2]，但是1- m和m分别在[-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。

解：∵f (x)是偶函数， f (1-m)<f(m) 可得 ，∴f(x)在[0，2]上是单调递减的，于是 ，即 化简得-1≤m< 。