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tamoadmin 2024-05-17 人已围观
简介高等数学十大定理公式有有界性、?最值定理、零点定理、费马定理、?罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理(泰勒公式)、积分中值定理(平均值定理)。1、有界性|f(x)|K2、?最值定理mf(x)M3、?介值定理若mμM,ξ∈[a,b],使f(ξ)=μ4、零点定理若 f(a)?f(b)<0ξ∈(a,b)?,使f(ξ)=05、费马定理设f(x)在x0处:1,可导 2,取极值,则f′(x
高等数学十大定理公式有有界性、?最值定理、零点定理、费马定理、?罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理(泰勒公式)、积分中值定理(平均值定理)。
1、有界性
|f(x)|≤K
2、?最值定理
m≤f(x)≤M
3、?介值定理
若m≤μ≤M,ξ∈[a,b],使f(ξ)=μ
4、零点定理
若 f(a)?f(b)<0ξ∈(a,b)?,使f(ξ)=0
5、费马定理
设f(x)在x0处:1,可导 2,取极值,则f′(x0)=0
6、?罗尔定理
若f(x)在[a,b]?连续,在(a,b)?可导,且f(a)=f(b)?,则 ξ∈(a,b)?,使得f′(ξ)=0
7、拉格朗日中值定理
若f(x)在[a,b]?连续,在(a,b)?可导,则ξ∈(a,b)?,使得 f(b)?f(a)=f′(ξ)(b?a)
8、柯西中值定理
若f(x)、g(x)在[a,b]?连续,在(a,b)?可导,且g′(x)≠0?,则
ξ∈(a,b)?,使得 f(b)?f(a)g(b)?g(a)=f′(ξ)g′(ξ)
9、泰勒定理(泰勒公式)
n阶带皮亚诺余项:条件为在$x_0$处n阶可导?
$f(x)=f(x_0)f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)\ ,x\xrightarrow{} x_0$
n阶带拉格朗日余项:条件为 n+1阶可导
$f(x)=f(x_0)f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\ ,x\xrightarrow{} x_0$
10、积分中值定理(平均值定理)
若 f(x)在 [a,b]?连续,则ξ∈(a,b),使得 ∫baf(x)dx=f(ξ)(b?a)
三角学
边长为a、b、c的直角三角形,其中一个夹角为θ。它的六个三角函数分别为:正弦(sine)、余弦 (cosine)、正切(tangent)、余割(cosecant)、正割(secant)和余切(cotangent)。
sinθ=b/c cosθ=a/c tanθ=b/a
cscθ=c/b secθ=c/a cotθ=a/b
若圆的半径是1,则其正弦与余弦分别为直角三角形的高与底。
a=cosθ b=sinθ
依照勾股定理,我们知道a2+b2=c2。因此对于圆上的任何角度θ,我们都可得出下列的全等式:
cos2θ+sin2θ=1
三角恒等式
根据前几页所述的定义,可得到下列恒等式(identity):
tanθ=sinθ/cosθ,cotθ=cosθ/sinθ
secθ=1/cosθ,cscθ=1/sinθ
分别用cos 2θ与sin 2θ来除cos 2θ+sin 2θ=1,可得:
sec 2θ–tan 2θ=1 及 csc 2θ–cot 2θ=1
对于负角度,六个三角函数分别为:
sin(–θ)= –sinθcsc(–θ)= –cscθ
cos(–θ)= cosθ sec(–θ)= secθ
tan(–θ)= –tanθ cot(–θ)= –cotθ
当两角度相加时,运用和角公式:
sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β)= cosαcosβ–sinαsinβ
tan(α+β)= tanα+tanβ/1–tanαtanβ
若遇到两倍角或三倍角,运用倍角公式:
sin2α= 2sinαcosα sin3α= 3sinαcos2α–sin3α
cos2α= cos 2α–sin 2α cos3α= cos 3α–3sin 2αcosα
tan 2α= 2tanα/1–tan 2α
tan3α= 3tanα–tan 3α/1–3tan 2α
二维图形
下面是一些二维图形的周长与面积公式。
圆:
半径= r 直径d=2r
圆周长= 2πr =πd
面积=πr2 (π=3.1415926…….)
椭圆:
面积=πab
a与b分别代表短轴与长轴的一半。
矩形:
面积= ab
周长= 2a+2b
平行四边形(parallelogram):
面积= bh = ab sinα
周长= 2a+2b
梯形:
面积= 1/2h (a+b)
周长= a+b+h (secα+secβ)
正n边形:
面积= 1/2nb2 cot (180°/n)
周长= nb
四边形(i):
面积= 1/2ab sinα
四边形(ii):
面积= 1/2 (h1+h2) b+ah1+ch2
三维图形
以下是三维立体的体积与表面积(包含底部)公式。
球体:
体积= 4/3πr3
表面积= 4πr2
方体:
体积= abc
表面积= 2(ab+ac+bc)
圆柱体:
体积= πr2h
表面积= 2πrh+2πr2
圆锥体:
体积= 1/3πr2h
表面积=πr√r2+h2 +πr2
三角锥体:
若底面积为A,
体积= 1/3Ah
平截头体(frustum):
体积= 1/3πh (a2+ab+b2)
表面积=π(a+b)c+πa2+πb2
椭球:
体积= 4/3πabc
环面(torus):
体积= 1/4π2 (a+b) (b–a) 2
表面积=π2 (b2–a2)