2013数列高考题,2013年数学高考卷理科

1.2013年陕西高考数学理科试题难易分析

2.高三总复习 数列部分 高考题 求解析

3.高中数学数列（高考题）

4.高考数列大题求解

5.怎么求等比数列，和等差数列的和

6.求 高考数列各种主要题型

证明:两边同时加n得：An+n=2A(n-1)-2+2n

即An+n=2A(n-1)+2（n-1）

所以得（An+n）/[A(n-1)+（n-1）]=2

所以{An+n}是以2为首项，2为公比的等比数列

（1）an+n=2的n次幂

an=2的n次幂-n

(2)sn=2+2的2次+2的三次+...+2的n次—（1+2+3+4+....+n）

=2（2的n次-1）-1/2·n(1+n)

2013年陕西高考数学理科试题难易分析

数列求和的基本方法和技巧

魏凤玲

关键词：数列求和 通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 合并法

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、 等差数列求和公式：

2、 等比数列求和公式：

自然数方幂和公式：

3、 4、

5、

[例] 求和1＋x2＋x4＋x6＋…x2n+4(x≠0)

解： ∵x≠0

∴该数列是首项为1，公比为x2的等比数列而且有n+3项

当x2＝1 即x＝±1时 和为n+3

评注：

(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x是否为0进行讨论．

(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n项．

对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+ ），……的前顶和为 ，则 的值。

二、错位相减法求和

错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。

[例] 求和： （ ）………………………①

解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ }的通项之积

设 ………………………. ② （设制错位）

①－②得 （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

∴

注意、1 要考虑 当公比x为值1时为特殊情况

2 错位相减时要注意末项

此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。

对应高考考题：设正项等比数列 的首项 ，前n项和为 ，且 。（Ⅰ）求 的通项； （Ⅱ）求 的前n项和 。

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个 .

[例] 求证：

证明： 设 ………………………….. ①

把①式右边倒转过来得

（反序）

又由 可得

…………..…….. ②

①+②得 （反序相加）

∴

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

若数列 的通项公式为 ，其中 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。

[例]：求数列 的前n项和；

分析：数列的通项公式为 ，而数列 分别是等差数列、等比数列，求和时一般用分组结合法；

[解] ：因为 ，所以

（分组）

前一个括号内是一个等比数列的和，后一个括号内是一个等差数列的和，因此

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1） （2）

（3） （4）

（5）

[例] 求数列 的前n项和.

解：设 （裂项）

则 （裂项求和）

＝

＝

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意： 余下的项具有如下的特点

1余下的项前后的位置前后是对称的。

2余下的项前后的正负性是相反的。

[练习] 在数列{an}中， ，又 ，求数列{bn}的前n项的和.

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例] 在各项均为正数的等比数列中，若 的值.

解：设

由等比数列的性质 （找特殊性质项）

和对数的运算性质 得

（合并求和）

＝

＝

＝10

数列的求和方法多种多样，它在高考中的重要性也显而易见。我们的学生在学习中必须要掌握好几种最基本的方法，在解题中才能比较容易解决数列问题。

高三总复习 数列部分 高考题 求解析

整体难度仁者见仁智者见智

个人感觉

选择题：12457都是送分的，3.6.8.9.10要细心一点拿满分问题不大

填空题：都很简单。第14题本来很难的位置放了一道推理题。15题不等式那个柯西不等式的可以避开选第B或C

大题：16是打酱油的三角函数，简单。17考试之前都已经猜的到课本例题，第二问反证法即可

18题只要你看到空间向量的用武之地秒杀不是问题，简单。19题细心一点应该也差不多

20题出了个抛物线，没想到，但难度不大。第二问纯粹的特殊点问题定点问题。先设个斜率不存在找出特殊点，再证恒过（1，0）即可，运算量不大。

21题最难了吧就算，做到此处强弩之末果断步骤分走人即可。考得的切线零点不等式。

很多人在高考结束后都在问我，今年的高考难不难？

6月7日当天下午考试刚过，我就进各大论坛贴吧去看同学们的各种倾诉。从看到的各种吐槽中，我的直观感受是今年陕西的试题应该不简单。

第一时间拿到真题以后，先大致扫了一遍，整个试卷没有偏题怪题。凡是这次考试考的，都是老师给学生们复习过的。所以很多人在问我，今年高考估中了多少分，这个问题着实难回答，也没有多大意义。说多了感觉在吹自己牛皮，说少了显得自己很没有水平。摸着良心说一句，考试的题型全都讲过，只要基础扎实，发挥出真实水平，高分很容易。

大致说来，今年陕西省高考数学试题的命题以下几个特点尤为突出：

1、痴心不改玩证明，万法归宗回教材。

2010年，四川省高考题出了证明三角函数两角和与差公式这样一道题。陕西高考命题组受到了启发，把这一题型发扬光大，叙述证明成为了为考生准备的一道特色菜。2011年，一道叙述并证明余弦定理如一道闪电把考生们劈的外焦里嫩，七窍生烟，都说不带这么玩的，可陕西就这么玩起来了。2012年，三垂线定理的横空出世又让很多学生、老师大跌眼镜。2013年高考之前，很多老师和学生都猜测，陕西的命题人肯定会痴心不改，那么三角函数考过了，立体几何玩完了，接下来概率、解析几何、导数都是奔着压轴去的，唯一有出类似证明可能的机会就落在了数列这一版块上。新道恒的老师们在考试最后一卷中给文理科各出了一道叙述并证明等差数列和等比数列求和公式。当我看到真卷上同样的题之后，我笑了。果然是痴心不改啊，按着这个逻辑，2014年要出解析几何呀！从形式上看，一年一道叙述并证明题目；从本质上看，是对数学知其然知其所以然的回归。因此，今后高一的学生在学习时，一定要注意听老师对基本的定理推理讲解。这比利用定理去解题更有价值。高二的学生复习方向也很明确，回归教材，扎实基础，是高分的基本前提。

2、已知条件躲猫猫，犹抱琵琶半遮面。

2013年陕西文理数学很多题目都有这个特点，已知条件给的不够豪爽，欲语还休的，总是需要多想一下。就这一下，截下来一批悲催的人。有的题目出的是个小综合，牵扯到很多小的知识点，这非常类似我们新道恒考前十套题的风格。小题如让理科考生很蛋疼的第6.8.10题。大题如今年文理科最后一题涉及到的反函数。题目中给了一个指数函数，后面知识点涉及到了它的反函数的切线方程问题。在给学生讲解指数函数和对数函数时，我说这两个函数很多特点都很像，像一对兄弟一样，不妨美其名曰兄弟函数。但很多兄弟最后都因为各种原因最后反目成仇了，所以专业上数学把这两个函数叫互为反函数。这个题目知识点相对简单，但近几年一直未考，有的老师在涉及到这类题目时直接放掉，导致很多孩子在看到这个题目时忽然愣住了。这个已知条件挖掘不出来，后面感觉浑身的劲使不出来。这种小综合题，一环扣一环，哪个环节出了问题，都会很受伤。所以一定要具备揭开神秘面纱的本领。

3、文理数学区别大，男女生分两重天。

相对于2012年文理科有8道小题完全一样，两道大题完全一样的懒惰试卷题目配置，今年文理科数学一共仅有3道小题一样，使文理区别、特点更显著。

理科数学需要掌握的知识点要比文科多一些，比如二项式定理、排列组合、离散型随机变量、定积分、空间向量等。因为要面面俱到，所以理科数学一来出综合题的情况更多，二来每年都可能会有漏网之鱼。去年理科的平面向量题目基本缺失，所以考试前和学生们探讨时猜测今年向量会结合三角函数出个大题，果不其然。今年理科数学又缺失了定积分，按这个逻辑关系，明年的考生们要小心了。定积分在高中理科数学中虽数边缘知识，但杀伤力不容小视。

相对于2012年高考题的皆大欢喜，今年的命题特点明显更具有区分度。今年的命题风格对学习成绩好、基础扎实的孩子特别有利。今年成绩好的本指望着数学往上拉拉分呢，结果成绩一出来，大家都一百二三，连平时没及过格的也尝到了上百的滋味。提起去年的陕西高考数学，高手们全是泪啊。同样的情形发生在这年陕西高考的英语考试上。在统计学上有这样一个推理结论：性别变量与英语和数学成绩之间存在着明显的相关性。一般说来，女生语言类学科会好些，如英语；男生工具类学科会好些，比如数学。在一对一的实例中，补数学的女生居多，补英语的更多的都是男生。今年据资深老师透露，高考英语属于皆大欢喜型，一百三十分不是梦。这对英语学的好的女生来讲，绝对是一盆凉水泼下来的感觉。这更加说明了短板效应，一定要提高自己的综合实力，尤其是薄弱环节。

年年岁岁题相似，岁岁年年人不同。陕西高考数学自主命题四年来，命题风格逐渐成型，命题水平也越来越高。只要知识点扎实，准备充分，考出好成绩，理想照进现实。望新道恒陪着你们一起走过这段辉煌岁月！

高中数学数列（高考题）

7.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5/a3=5/9,则S9/S5=多少？

∵{an}是等差数列

∴S9=(a1+a9)*9/2=2*9a5/2=9a5

S5=(a1+a5)*5/2=2a3*5/2=5a3

∴S9/S5=9a5/(5a3)=9/5*5/9=1

8.∵{an}等差数列的前n项之和，

∴ S4=4a1+6d , S8=8a1+8*7d/2=8a1+28d

∵ S4/S8=1/3

∴3(4a1+6d)=8a1+28d

∴ 2a1=5d

∴S8/S16=(8a1+28d)/(16a1+120d)

=48d/(160d)=3/10

法2：

∵ S8=3S4 ，

∴ S8-S4=2S4 ，

S12-S8=3S4 ，

S16-S12=4S4

∴S16-S4=9S4

∴S16=10S4

∴S8/S16=3/10

9.（04全国卷一文17）等差数列{an}的前n项和记为Sn已知a10=30，a20=50.

(1)求通项an;

∵ 等差数列{an} a10=30，a20=50.

∴a1+9d=30 ,a1+19d=50

∴d=2,a1=12

∴an=12+2(n-1)=2n+10

(2)

∵Sn=242

∴(12+2n+10)n/2=242

∴(n+11)n=22×11

∴n=11

高考数列大题求解

A<2>-A<1>=c-1-1>0所以c>2

令t=A<n

1>=A<n>解得t=(c±√(c^2-4))/2求出两个可能的收敛点只需证明(c-√(c^2-4))/2<A<n><=(c

√(c^2-4))/2即数列取值在两个可能收敛点之间

1.用数学归纳法，当（c-√(c^2-4))/2<A<n>时A<n

1>-（c-√(c^2-4))/2=（c

√(c^2-4))/2-1/A<n>>0所以A<n>>（c-√(c^2-4))/2>0

2.A<n

1>-A<n>=-A<n>

A<n-1>=(A<n>-A<n-1>)/(A<n>A<n-1>)A<2>-A<1>>0，推出A<3>-A<2>>0，……,A<n

1>-A<n>>0

3.当A<n><（c

√(c^2-4))/2时A<n

1>-（c

√(c^2-4))/2=（c-√(c^2-4))/2-1/A<n><0所以A<n><(c

√(c^2-4))/2

要满足条件，已知c>2，A<n><A<n

1>自然满足要使A<n

1><3，又A<n><(c

√(c^2-4))/2(c

√(c^2-4))/2<3解得2<c<10/3

怎么求等比数列，和等差数列的和

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求 高考数列各种主要题型

以下为 等差与等比数列和数列求和的基本方法和技巧 文本内容，如需完整资源请下载。

高考专题复习三——等差与等比数列

等差与等比数列是最重要且应用广泛的有通项公式的数列，在高考中占有重要地位，成为每年必考的重点内容，这部分内容的基础知识有：等差、等比数列的定义及通项公式，前几项和公式以及等差、等比数列的性质，在解决有关等差，等比数列问题时，要注意运用方程的思想和函数思想以及整体的观点，培养分析问题与解决问题的能力。

考纲要求：掌握等差数列与等比数列的概念，通项公式，前几项和公式并能运用知识解决一些问题。

一、知识结构与要点：

等差、等比数列的性质推广

定义

通项 —等差中项 abc成等差

基本概念 推广

前n项和

等差数列

当d>0(<0) 时{为递增（减）数列

当d=0时为常数

基本性质 与首末两端等距离的项之和均相等

中共成等差则也成等

定义:

通项 等比中项：a b c成等比数列

基本概念 推广

前n项和

等比数列

与首末两端等距离的两项之积相等

成等比，若 成等差 则 成等比

基本性质 当 或 时 {为递增数列

当 或 时 {为递减数列

当 q<0时 {为摆动数列

当 q=1时 {为常数数列

二、典型例题

例1．在等差数列中 求

解法一

那么

解法二：由

点评：在等差数列中，由条件不能具体求出和d，但可以求出 与d的组合式，而所求的量往往可以用这个组合式表示，那么用“整体代值”的方法将值求出

（2）利用：将所求量化为已知量也是“整体代值”的思想，它比用和 d表示更简捷。

例2．等差数列前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为

解法一 用方程的思想，由条件知

也成等数列

由②Χ2-①得

代入

解：在等差数列中由性质知 成等差数列

解法三 等差数列中

即为以为首项公差为的等差数列 依题意条件知

成等差

点评：三种解法从不同角度反映等差数列所具有的特性，运用方程的方法、性质或构造新的等差数列都是数列中解决问题的常用方法且有价值，对解决某些问题极为方便。

例3 在等比数列中 求

分析：在等比数列中对于 五个量一般“知三求二”其中首项5元比是关键，

因此

解法一

又

则

解法二: 而

代入 中得

故

点评：根据等比数列定义运用方程的方法解决数列问题常用解法二更为简捷。

例4．在等差数列 中 等比数列中

则

解：

点评：此题也可以把和d 看成两个未知数，通过 列方程，联立解之d= 。再求出 但计算较繁，运用计算较为方便。

例5．设等差数列 前n项和为已知

（1）求公差d的范围 （2）指出中哪一个值最大，并说明理由

解：（1）由题义有

由 则代入上式有

(2d<0 所以最小时最大 当时

所以 当n=6 时最小 故 最大

点评：本题解法体现了函数思想在处理数列问题中的运用，判断数列随N增大而变化规律的方法与判断函数增减性的方法相同。

例6 已知a>0 数列是首项5元比都为a的等比数列，(n如果数列中每一项总小于它后面的项，求a的取值范围。

解：由已知有 所以

因此由题意 对任意 成立 即

即 对任总成立，由 知

那么 由 a>0 知 或

即（Ⅰ） 或 （Ⅱ）

由Ⅰ知 a>1 中Ⅱ 为递增的函数 所以

故a的取值范围为或 a>1

点评：这是道数列与不等式综合的题目，既含有字母分类讨论又要运用极限的思想和函数最值的观点来解决问题，同时还要判断函数 的单调性，具有一定的综合性。

高考专题复习三——数列求和的基本方法和技巧

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

等差数列求和公式：

2、等比数列求和公式：

3、

4、

5、

[例1] 已知，求的前n项和.

解：由 由等比数列求和公式得

（利用常用公式）＝＝＝1－

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.

解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式）

∴ ＝＝＝

∴当，即n＝8

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：………………①

解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}{}的通项之积

设……. ②（设制错位）

①－②得 （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

∴

[例4] 求数列前n项的和.

解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积

设………………①

………………②（设制错位）

①－②得（错位相减）

∴

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

[例5] 求证：

证明： 设………①

把①式右边倒转过来得

（反序）

又由可得 ……..②

①+②得 （反序相加）∴

[例6] 求的值

解：设…①

将①式右边反序得

…②（反序）

又因为 ①+②得（反序相加）

＝89 ∴ S＝44.5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例7] 求数列的前n项和：，…

解：设 将其每一项拆开再重新组合得

（分组）

当a＝1＝（分组求和）

当时，＝

[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

解：设 ∴＝

将其每一项拆开再重新组合得

Sn＝（分组）＝＝（分组求和）＝

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1） （2）

（3） （4）

（5）

(6)

[例9] 求数列的前n项和.

解：设 （裂项）

则 （裂项求和）

＝＝

[例10] 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.

解：∵ ∴ （裂项）

∴ 数列{bn}的前n项和

（裂项求和）＝＝

[例11] 求证：

解：设

由 （裂项）

∴ （裂项求和）

＝

＝＝＝ ∴原等式成立

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设Sn＝ cos1 cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵（找特殊性质项）

∴Sn＝cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝0

[例13] 数列{an}：，求S2002.

解：设S2002＝

由可得

……

∵（找特殊性质项）

∴S2002＝ （合并求和）

＝

＝

＝

＝5

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若的值.

解：设

由等比数列的性质 （找特殊性质项）

和对数的运算性质 得

（合并求和）

＝

＝

＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15] 求之和.

解：由于 （找通项及特征）

∴

＝（分组求和）

＝＝＝

[例16]已知数列{an}：的值.

解：∵ （找通项及特征）

＝（设制分组）

＝ （裂项）

∴ （分组、裂项求和）

＝＝

高考专题复习练习三——等差与等比数列

1(北京)已知数列中，，为数列的前n项和，且与的一个等比中项为，则的值为（ ）

（A） （B） （C） （D）1

2（黄冈）在等差数列{an}中，a1 + a2 + … + a50 = 200，a51 + a52 + … + a100 = 2700，则a1等于（ ）

（A）－1221 （B）－21.5 （C）－20.5 （D）－20

3（合肥）数列满足 若，则（ ）

(A) (B) (C) (D)

4（北京）在数列中，则此数列前4项之和为中， ，公差d<0，前n项和是，则有（ ）

（A） （B） （C） （D）

6(北京)等差数列{a n}中，已知，a2＋a5=4，a n =33，则n为（ ）

A、48 B、49 C、50 D、51

满足是首项为1，公比为2的等比数列，则_________________。

8、已知数，则的值依次是_________________，=___________________.

9、若数列满足，且，则的值为______________。

10、（天津）设数列是等差数列，且a2a4+a4a6+a6a2=1，，则a10 =____________．

11、在等差数列｛an｝中，a1=,第10项开始比1大，则公差d的取值范围是___________.

12、（本题满分14分）

已知函数f (x)=－3x＋3，x∈

(1)求f (x)的反函数y=g (x)；

(2)在数列{a n}中，a1=1，a2=g (a1)，a3=g (a2) ，…an=g (an－1)

求证：数列是等比数列. (3)解关于n的不等式：12分）

已知数列的首项（a是常数），（）．

（Ⅰ）是否可能是等差数列.若可能，求出的通项公式；若不可能，说明理由；

（Ⅱ）设，（），为数列的前n项和，且是等比数列，求实数a、b满足的条件．

高考专题复习练习三——等差与等比数列答案

1.D 2.C 3.B 4.A 5.A 6.C 7. 8. 1 9.102 10．

11.

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