2008高考数学江苏,2008江苏高考数学答案

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2008江苏高考数学理科加试题中的立体几何可以不用空间向量做的。理科立体几何一般都会给出两种做法的。传统法是最基本的，适应范围更广，要求也更高，但在某些题目往往会意想不到的方便。

数学上，立体几何(Solid geometry)是3维欧氏空间的几何的传统名称—- 因为实际上这大致上就是我们生活的空间。一般作为平面几何的后续课程。立体测绘(Stereometry)处理不同形体的体积的测量问题：圆柱，圆锥， 锥台，?球，棱柱，?楔，?瓶盖等等。

毕达哥拉斯学派就处理过球和正多面体，但是棱锥，棱柱，圆锥和圆柱在柏拉图学派着手处理之前人们所知甚少。尤得塞斯(Eudoxus)建立了它们的测量法，证明锥是等底等高的柱体积的三分之一，可能也是第一个证明球体积和其半径的立方成正比的。

求08年江苏数学高考试卷 word 版（带答案）

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学

本试卷分第I

卷（填空题）和第II

卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本

试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1

．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的

准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．

2

．选择题答案使用2B

铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择

题答案使用0.5

毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．

3

．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．

4

．保持卡面清洁，不折叠，不破损．

5

．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B

铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

参考公式：

样本数据1， ， ， 的标准差锥体体积公式x 2 x ? n x

2 2 2

1 2

1 [( ) ( ) ( ) ] n s x x x x x x

n

?

1

3

V ? Sh

其中x 为样本平均数其中S 为底面面积、h 为高

柱体体积公式球的表面积、体积公式

V ? Sh S ? 4πR2， 3 4 π

3

V ? R

其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径

一、填空题：本大题共1

小题，每小题5

分，共70

分．

1． )最小正周期为，其中，则▲ ．

6

( ) cos(

f x x ?

5

0

解析本小题考查三角函数的周期公式． ．

2π π 10

5

T ?

答案10

2． 一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率▲ ．

解析本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故

3 1 .

6 6 12

P

答案

1

12

3． ( , )，则= ▲ ．

1

1 a bi a b R

i

i

表示为a ?b

解析本小题考查复数的除法运算．∵ ，∴a＝0，b＝1，因此a＋b＝1．

1 i (1 i)2 i

1 i 2

答案1

4． A x (x ?1)2 ? 3x ? 7?，则A ?Z 的元素的个数▲ ．

解析本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由(x ?1)2 ? 3x ? 7得x 2 ? 5x ? 8 ? 0，

∵Δ＜0，∴集合A 为?，因此A ?Z 的元素不存在．

答案0

5． a,b的夹角为， 则▲ ．

120? a ?1, b ? 3,

5a ?b ?

解析本小题考查向量的线性运算．

5a ?b 2 ? (5a ?b)2 ? 25a 2 ?b 2 ?10a ?b

2 2 ． 25 1 3 10 1 3 ( 1) 49

2

?

答案5a ?b ? 7

6． 在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域，E 是

到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D中随机投一点，

则落入E 中的概率▲ ．

解析本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正

方形ABCD 的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内

部，因此．

12

4 4 16

P ?

答案

16

7． 算法与统计的题目

8． 直线y ? x ?b是曲线的一条切线，则实数b＝ ▲ ．

2

1 y ? ln x(x ? 0)

解析本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令得，故切点（2，ln2），

y 1

x

1 1

x 2

代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．

ln 2 1 2

2

?b

答案ln2－1

x

y

D C

A B

O

9． 在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P（0，p）在线

段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC,AB于点E,F ，一

同学已正确算的的方程： ，请你求的方程： OE 0 1 1 1 1 ?

?

y

p a

x

b c

OF

( ▲ ) 0． 1 1 ?

y

p a

x

解析本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填．事实上，由截距式可得

1 1

c b

直线AB： x y 1，直线CP： ，两式相减得，显然直线AB

b a

x y 1

c p

1 1 x 1 1 y 0

c b p a

与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．

答案

1 1

c b

10．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行（n≥3）从左向右的第3个数为▲ ．

解析本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1） 个，

即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第个，即为．

2

2

n ?n 2

3

2

n ?n

2 6

2

n ?n ?

答案

2 6

2

n ?n ?

11． 的最小值▲ ．

xz

x y z R x y z y

2

, , , ? 2 ? 3 ? 0,

解析本小题考查二元基本不等式的运用．由x ? 2y ? 3z ? 0得3 ，代入得

2

y x z ?

y 2

xz

，当且仅当x＝3z 时取“＝”．

2 9 2 6 6 6 3

4 4

x z xz xz xz

xz xz

?

≥ ?

答案3

12． 在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心， 为半径的圆， 2

2

2

2

a ? b ?

b

y

a

x a

过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ▲ ．

,0

2

c

a e

解析如图，切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以

△OAP 是等腰直角三角形，故，解得．

2

a 2a

c

2

e c

a

答案2

2

13．若AB ? 2,AC ? 2BC ，则的最大值▲ ． ABC S ?

解析本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝x，则AC＝ 2x，

根据面积公式得2 ， 1 sin 1 2 1 cos

ABC 2 2 S AB BC B x B

根据余弦定理得，代入上式得

2 2 2 4 2 ( 2 )2 4 2 cos

2 4 4

B AB BC AC x x x

AB BC x x

?

?

4 2 2 128 ( 2 12)2 1

ABC 4 16

S x x x

x ?

?

?

由三角形三边关系有解得，

2 2,

2 2 ,

x x

x x

?

2 2 ? 2 ? x ? 2 2 ? 2

故当x ? 2 3时取得最大值． ABC S ? 2 2

答案2 2

14． f (x) ? ax 3 ? 3x ?1对于x 1,1?总有f (x)≥0成立，则a = ▲ ．

解析本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论a 取何值， f (x)≥0显然成立；

当x＞0 即x ?0,1?时， f (x) ? ax3 ?3x ?1≥0可化为， 2 3

a 3 1

x x

≥ ?

设，则， 2 3

g (x) 3 1

x x

4

g (x) 3(1 2x)

x

?

所以g (x)在区间0, 1 上单调递增，在区间上单调递减，

2

1 ,1

2

因此max ，从而a≥4；

1

2

g (x) ? g ( ) ? 4

x

y

O

A

P

B

当x＜0 即x 1,0?时， f (x) ? ax3 ? 3x ?1≥0可化为， 2 3

a 3 1

x x

≤ ?

g (x)在区间?1,0?上单调递增，因此，从而a≤4，综上a＝4 min g (x) ? g (?1) ? 4

答案4

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角?,? ，它们的终边分别与单位圆

相交于A,B两点，已知A,B的横坐标分别为．

5

, 2 5

10

2

（Ⅰ）求tan( ? )的值；

（Ⅱ）求 2? 的值．

解析本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二

倍角的正切公式．

由条件得cos 2 ,cos 2 5 .

10 5

∵?,? 为锐角，∴sin 1 cos2 7 2 ,

10

?

sin 1 cos2 5 .因此

5

? tan 7, tan 1 .

2

（Ⅰ）

7 1 tan( ) tan tan 2 3. 1 tan tan 1 7 1

2

?

（Ⅱ） 2 2

2 1 tan 2 2 tan 2 4 ,

1 tan 1 3 1

2

?

7 4

tan( 2 ) 3 1. 1 7 4

3

?

∵?,? 为锐角，∴ ，∴ 0 2 3π

2

2 3π .

4

y

O x

A

B

16．在四面体ABCD 中，CB ?CD,AD ? BD ，且E,F 分别是AB,BD 的中点，

求证：（Ⅰ）直线EF ‖面ACD ；

（Ⅱ）面EFC ?面BCD．

解析本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．

（Ⅰ）∵E,F 分别是AB,BD 的中点，

∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF‖AD，

∵EF ?面ACD ，AD ?面ACD ，∴直线EF ‖面ACD．

（Ⅱ）∵AD ? BD ，EF‖AD，∴EF ? BD.

∵CB ?CD,F 是BD 的中点，∴CF ? BD.

又EF ?CF ? F ，∴BD⊥面EFC．∵BD ?面BCD，∴面EFC ?面BCD．

17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB ? 20km,

CB ?10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B与等距

离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为ykm．

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设?BAO?(rad)，将y 表示成?的函数关系式；

②设OP ?x(km)，将y 表示成x的函数关系式．

（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．

解析本小题主要考查函数最值的应用．

（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若?BAO ?(rad)，则10 ,故

cos cos

OA AQ

BAO ?

10 ,

cos

OB

又OP＝10－10tanθ，所以， 10 10 10 10 tan

cos cos

y OA OB OP ?

?

所求函数关系式为． 20 10sin 10(0 π)

cos 4

y

?

②若OP ?x(km)，则OQ＝10－x，所以OA ?OB ? (10 ? x)2 ?102 ? x2 ? 20x ? 200.

所求函数关系式为y ? x ? 2 x 2 ? 20x ? 200(0 ? x ?10)．

（Ⅱ）选择函数模型①， 2 2

10cos cos (20 10sin )( sin ) 10(2sin 1) ,

cos cos

y ?

?

C

B

A

F

D

E

B

D C

A

O

P

Q

令y 0得sin 1，因为，所以，

2

0 π

4

π

6

当时， ，y 是的减函数；当时， ，y 是的增函数， 0, π

6

y 0 ? π , π

6 4

y 0 ?

所以当时， 这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距π

6

min

20 10 1

2 10 10 3 10.

3

2

y

离AB 边处． 10 3

3

km

18．设平面直角坐标系xOy中，设二次函数f (x) ?x2 ?2x ?b(x?R)的图象与两坐标轴有三个交点，

经过这三个交点的圆记为C．求：

（Ⅰ）求实数b 的取值范围；

（Ⅱ）求圆C 的方程；

（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．

解析本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．

（Ⅰ）令x＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b）；

令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

令y＝0 得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝b．

令x＝0 得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．

所以圆C 的方程为x2＋y2＋2x－（b＋1）y＋b＝0．

（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．

证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝02＋12＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，

所以圆C 必过定点（0，1）．

同理可证圆C 必过定点（－2，1）．

19．（Ⅰ）设n 是各项均不为零的等差数列（ ），且公差，若将此数列删去某一a ,a ,......a 1 2 n≥4 d ?0

项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

①当n ?4时，求的数值；②求的所有可能值；

d

a1

n

（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列

，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列． 1 2 , ,...... n b b b

解析本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．

（Ⅰ）①当n＝4 时，a1，a2，a3，a4 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，

则推出d＝0．

若删去a2，则有a3

2＝a1·a4，即（a1＋2d）2＝a1·（a1＋3d）．

化简得a1d＋4d2＝0，因为d≠0，所以a1＋4d＝0，故得1 4； a

d

若删去a3，则有a2

2＝a1·a4，即（a1＋d）2＝a1·（a1＋3d）．

化简得a1d＝d2，因为d≠0，所以a1＝d，故得1 1． a

d

综上1 1或－4． a

d

②当n＝5 时，a1，a2，a3，a4，a5 中同样不可能删去首项或末项．

若删去a2，则有a1·a5＝a3·a4，即a1·（a1＋4d）＝（a1＋2d）·（a1＋3d）．

化简得a1d＋6d2＝0，因为d≠0，所以a1＋6d＝0，故得1 6； a

d

若删去a3，则a1·a5＝a2·a4，即a1·（a1＋4d）＝（a1＋d）·（a1＋3d）．

化简得3d2＝0，因为d≠0，所以也不能删去a3；

若删去a4，则有a1·a5＝a2·a3，即a1·（a1＋4d）＝（a1＋d）·（a1＋2d）．

化简得a1d＝2d2，因为d≠0，所以a1＝2d，故得1 2． a

d

当n≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列a1，a2，a3，…，an－2，an－1，an 中，

由于不能删去首项或末项，若删去a2，则必有a1·an＝a3·a n－2，这与d≠0 矛盾；同样若删

去an－1 也有a1·an＝a3·a n－2，这与d≠0 矛盾；若删去a3，…，an－2 中任意一个，则必有

a1·an＝a2·a n－1，这与d≠0 矛盾．

综上所述，n∈{4，5}．

（Ⅱ）略

20．若为常数，且1 2 1 2 f (x) ? 3 x ?p1 , f (x) ? 2 ? 3 x ? p2 ,x ?R, p , p 1 1 2

2 1 2

( ), ( ) ( )

( )

( ), ( ) ( )

f x f x f x

f x

f x f x f x

≤

（Ⅰ）求( ) ( )对所有实数成立的充要条件（用表示）； 1 f x ? f x x 1 2 p , p

（Ⅱ）设a,b为两实数，a ? b且, ( , )，若， 1 2 p p ? a b f (a) ? f (b)

求证： f (x)在区间?a,b?上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）．

2

b ?a ?m,n? n ?m

解析本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用．

（Ⅰ） ( ) ( )恒成立1 f x ? f x 1 2 ? f (x)≤ f (x)

1 2

1 2

1 2 3

3 2 3

3 2

log 2 ( )

x p x p

x p x p

x p x p

?

?

≤

≤

≤

若p1＝p2，则，显然成立；若p1≠p2，记3 (?)? 0≤log 2 1 2 g (x) ? x ? p ? x ? p

当p1＞p2 时，

1 2 2

1 2 2 1

2 1 1

, ;

( ) 2 , ;

, .

p p x p

g x x p p p x p

p p x p

?

?

≤ ≤

所以，故只需． max 1 2 g (x) ? p ? p 1 2 3 p ? p ≤log 2

当p1＜p2 时，

1 2 1

1 2 1 2

2 1 2

, ;

( ) 2 , ;

, .

p p x p

g x x p p p x p

p p x p

?

?

?

≤ ≤

所以，故只需． max 2 1 g (x) ? p ? p 2 1 3 p ? p ≤log 2

综上所述， ( ) ( )对所有实数成立的充要条件是． 1 f x ? f x x 1 2 3 p ? p ≤log 2

（Ⅱ）1°如果，则的图象关于直线x＝p1 对称． 1 2 3 p ? p ≤log 2 ( ) ( ) 1 f x ? f x

因为f (a) ? f (b)，所以区间?a,b?关于直线x＝p1对称．

因为减区间为 ，增区间为，所以单调增区间的长度和为． 1 a, p 1p ,b

2

b ?a

2°如果，结论的直观性较强，一时未找到合适的说明方法．略． 1 2 3 p ? p ? log 2

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绝密★启用前

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数 学

本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的

准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．

2.选择题答案使用2B

铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择

题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．

5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

参考公式:

样本数据 , , , 的标准差

其中 为样本平均数

柱体体积公式

其中 为底面积， 为高

一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．

1. 的最小正周期为 ，其中 ，则 = ▲ ．

解析本小题考查三角函数的周期公式.

答案10

2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ．

解析本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故

答案

3. 表示为 ，则 = ▲ ．

解析本小题考查复数的除法运算．∵ ，∴ ＝0， ＝1，因此

答案1

4.A= ，则A Z 的元素的个数 ▲ ．

解析本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由 得 ,∵Δ＜0，∴集合A 为 ，因此A Z 的元素不存在．

答案0

5. ， 的夹角为 ， ， 则 ▲ ．

解析本小题考查向量的线性运算．

= ， 7

答案7

6.在平面直角坐标系 中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ ．

解析本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．

答案

7.算法与统计的题目

8.直线 是曲线 的一条切线，则实数b＝ ▲ ．

解析本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令 得 ，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．

答案ln2－1

9在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程： ，请你求OF的方程：

（ ▲ ） .

解析本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填 ．事实上，由截距式可得直线AB： ，直线CP： ，两式相减得 ，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．

答案

10．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．

解析本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即 个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第 ＋3个，即为 ．

答案

11.已知 ， ，则 的最小值 ▲ ．

解析本小题考查二元基本不等式的运用．由 得 ，代入 得

，当且仅当 ＝3 时取“＝”．

答案3

12.在平面直角坐标系中，椭圆 1( 0)的焦距为2，以O为圆心， 为半径的圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率 = ▲ ．

解析设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故 ，解得 ．

答案

13．若AB=2, AC= BC ，则 的最大值 ▲ ． ?

解析本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝ ，则AC＝ ，

根据面积公式得 = ，根据余弦定理得

，代入上式得

=

由三角形三边关系有 解得 ，

故当 时取得 最大值

答案

14. 对于 总有 ≥0 成立，则 = ▲ ．

解析本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论 取何值， ≥0显然成立；当x＞0 即 时， ≥0可化为，

设 ，则 ， 所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，因此 ，从而 ≥4；

当x＜0 即 时， ≥0可化为 ，

在区间 上单调递增，因此 ，从而 ≤4，综上 ＝4

答案4

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．如图，在平面直角坐标系 中，以 轴为始边做两个锐角 , ，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为 ．

（Ⅰ）求tan( )的值；

（Ⅱ）求 的值．

解析本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．

由条件的 ，因为 , 为锐角，所以 =

因此

（Ⅰ）tan( )=

（Ⅱ） ，所以

∵ 为锐角，∴ ，∴ =

16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，且E ,F分别是AB,BD 的中点，

求证：（Ⅰ）直线EF ‖面ACD ；

（Ⅱ）面EFC⊥面BCD ．

解析本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．

（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点，

∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF‖AD，

∵EF 面ACD ，AD 面ACD ，∴直线EF‖面ACD ．

（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF‖AD，∴ EF⊥BD.

∵CB=CD, F 是BD的中点，∴CF⊥BD.

又EF CF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD 面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．

17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,

CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为 km．

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO= (rad)，将 表示成 的函数关系式；

②设OP (km) ，将 表示成x 的函数关系式．

（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．

解析本小题主要考查函数最值的应用．

（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO= (rad) ，则 , 故

，又OP＝ 10－10ta ，

所以 ，

所求函数关系式为

②若OP= (km) ，则OQ＝10－ ，所以OA =OB=

所求函数关系式为

（Ⅱ）选择函数模型①，

令 0 得sin ，因为 ，所以 = ，

当 时， ， 是 的减函数；当 时， ， 是 的增函数，所以当 = 时， 。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边

km处。

18．设平面直角坐标系 中，设二次函数 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：

（Ⅰ）求实数b 的取值范围；

（Ⅱ）求圆C 的方程；

（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．

解析本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．

（Ⅰ）令 ＝0，得抛物线与 轴交点是（0，b）；

令 ，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为

令 ＝0 得 这与 ＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝ ．

令 ＝0 得 ＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．

所以圆C 的方程为 .

（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．

证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0 ＋1 ＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，

所以圆C 必过定点（0，1）．

同理可证圆C 必过定点（－2，1）．

19.（Ⅰ）设 是各项均不为零的等差数列（ ），且公差 ，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

①当n =4时，求 的数值；②求 的所有可能值；

（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列 ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．

解析本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．

（Ⅰ）①当n＝4 时， 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d＝0．

若删去 ，则有 即

化简得 ＝0，因为 ≠0，所以 =4 ；

若删去 ，则有 ，即 ，故得 =1．

综上 =1或－4．

②当n＝5 时， 中同样不可能删去首项或末项．

若删去 ，则有 ＝ ，即 ．故得 =6 ；

若删去 ，则 ＝ ，即 ．

化简得3 ＝0，因为d≠0，所以也不能删去 ；

若删去 ，则有 ＝ ，即 ．故得 = 2 ．

当n≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列 ， ， ，…， ， ， 中，

由于不能删去首项或末项，若删去 ，则必有 ＝ ，这与d≠0 矛盾；同样若删

去 也有 ＝ ，这与d≠0 矛盾；若删去 ，…， 中任意一个，则必有

＝ ，这与d≠0 矛盾．

综上所述，n∈{4，5}．

（Ⅱ）略

20.若 ， ， 为常数，

且

（Ⅰ）求 对所有实数成立的充要条件（用 表示）；

（Ⅱ）设 为两实数， 且 ,若

求证： 在区间 上的单调增区间的长度和为 （闭区间 的长度定义为 ）．

解析本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用．

（Ⅰ） 恒成立

（*）

因为

所以，故只需 （*）恒成立

综上所述， 对所有实数成立的充要条件是：

（Ⅱ）1°如果 ，则的图象关于直线 对称．因为 ，所以区间 关于直线 对称．

因为减区间为 ，增区间为 ，所以单调增区间的长度和为

2°如果 .

（1）当 时. ，

当 ， 因为 ，所以 ，

故 =

当 ， 因为 ，所以

故 =

因为 ，所以 ，所以 即

当 时，令 ，则 ，所以 ，

当 时， ，所以 =

时， ，所以 =

在区间 上的单调增区间的长度和

=

（2）当 时. ，

当 ， 因为 ，所以 ，

故 =

当 ， 因为 ，所以

故 =

因为 ，所以 ，所以

当 时，令 ，则 ，所以 ，

当 时， ，所以 =

时， ，所以 =

在区间 上的单调增区间的长度和

=

综上得 在区间 上的单调增区间的长度和为

江苏卷数学哪年最难?

10年的

一、填空题1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},AB={3}，则实数a=______▲________

2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲________

3、盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__

4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。

5、设函数f(x)=x(ex+ae-x),xR，是偶函数，则实数a=_______▲_________

6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______

7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______ 开始 S1 n1 SS+2n S33 nn+1 否 输出S 结束 是

8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____

9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____

10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____

11、已知函数,则满足不等式的x的范围是____▲____

12、设实数x,y满足38，49，则的最大值是_____▲____

13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则__▲

14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=,则S的最小值是_______▲_______

二、解答题

15、（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长(2)设实数t满足()=0，求t的值

16、（14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB‖DC，BCD=900(1)求证：PCBC(2)求点A到平面PBC的距离

17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角ABE=α，ADE=β(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大

18.（16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T（）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M，，其中m>0,①设动点P满足,求点P的轨迹②设，求点T的坐标③设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）ABOF

19．（16分）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列.①求数列的通项公式（用表示）②设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为

20.（16分）设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质.(1)设函数，其中为实数①求证：函数具有性质②求函数的单调区间(2)已知函数具有性质，给定，，且，若||<||,求的取值范围

理科附加题21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分）(1)几何证明选讲AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC (2)矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k0，kR，M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值(3)参数方程与极坐标在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值(4)不等式证明选讲已知实数a,b0，求证：22、（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立（1）记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率23、（10分）已知△ABC的三边长为有理数（1）求证cosA是有理数（2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数

求2008年江苏高考数学试卷（带答案的）

08年之前是2003年的最难，只有2003年，150分的卷子平均分在50左右。从08年以后来看。江苏数学卷2012、2010年都是比较难的，然后2011、2008年是难度中等偏上的，2009、2013、2015、2017是难度中等偏下的，2014、2018年是很简单的。

其实在2003年高考时，不只是江苏省，而是全国的数学卷都是“史诗级”难度：因为在高考前四川南充的考生张博，在原本能考上普通高校的情况下**了高考试卷，使得全国的高考数学卷都换成了备用卷，因而难度大大提升了。

江苏卷数学难的原因：

1、高考数学没有选择题

江苏的高考数学是没有选择题的。江苏卷直接上来先给你14个填空题热热身，或许在题干的难度上，2019江苏卷填空题并不比其它省份选择题难多少，但是没有选项可以排除，不会或者答错就是零没有猜对的25%几率。

选择题和填空题的答题难度可谓是天壤之别，有时候填空比解答题还要难，因为解答题起码还有个过程分，而填空题只看结果。

在高考总分只有480的江苏，5分可以说显得更为珍贵，以2018年理科为例，南京大学投档线为391，而东南大学为388，南京理工大学投档线378，可以说各层次高校之间的差距也就是一两道填空题的距离。

2、理科大题难度大，选做题分值低

但是由于填空题和选择题的差别，留给大题的时间至少少了10分钟肯定是有的，江苏大题分值较高，大多都为14分~16分，最要命的是解题步骤都较为繁琐。

14分值的有两个问题，16分值的有三个问题，为了2分多出一个难度大的问题，真是拼了。今年的第一个选修题可以说比较良心，送分题。

最后的压轴选修题可以说是难度大分值少（10分），大家可以去搜一下标准答案，光是看着标准答案理清头绪都得半天，10分题的难度丝毫不比16分的低。

3、知识点贴近大学数学

一般中学数学的了解知识难点，在江苏都是必须掌握的知识，看了江苏高考数学卷，真的不少题目就是大学才能看到的高数、线代和概率统计的结合体。

向量、各种曲线、导数、矩阵变换及特征值、极坐标、随机变量等知识点各种相互组合。难度最大的是江苏数学后面大题朝着一种综合分析问题的方向走，比如第18题的解答中，光是点P和Q的位置讨论就进行了多次，考察的就是针对问题，看你能不能考虑全面，稍有不慎就会漏掉某种情况。

就是不知道具体判题赋分是怎样的，假如前两问能得到10分以上，我就把第三问留着最后做，因为付出与收获实在不成正比。

绝密★启用前

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数 学

本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的

准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．

2.选择题答案使用2B

铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择

题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．

5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

参考公式:

样本数据 , , , 的标准差

其中 为样本平均数

柱体体积公式

其中 为底面积， 为高

一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．

1. 的最小正周期为 ，其中 ，则 = ▲ ．

本小题考查三角函数的周期公式.

10

2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ．

本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故

3. 表示为 ，则 = ▲ ．

本小题考查复数的除法运算．∵ ，∴ ＝0， ＝1，因此

1

4.A= ，则A Z 的元素的个数 ▲ ．

本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由 得 ,∵Δ＜0，∴集合A 为 ，因此A Z 的元素不存在．

0

5. ， 的夹角为 ， ， 则 ▲ ．

本小题考查向量的线性运算．

= ， 7

7

6.在平面直角坐标系 中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ ．

本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．

7.算法与统计的题目

8.直线 是曲线 的一条切线，则实数b＝ ▲ ．

本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令 得 ，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．

ln2－1

9在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程： ，请你求OF的方程：

（ ▲ ） .

本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填 ．事实上，由截距式可得直线AB： ，直线CP： ，两式相减得 ，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．

10．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．

本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即 个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第 ＋3个，即为 ．

11.已知 ， ，则 的最小值 ▲ ．

本小题考查二元基本不等式的运用．由 得 ，代入 得

，当且仅当 ＝3 时取“＝”．

3

12.在平面直角坐标系中，椭圆 1( 0)的焦距为2，以O为圆心， 为半径的圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率 = ▲ ．

设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故 ，解得 ．

13．若AB=2, AC= BC ，则 的最大值 ▲ ． ?

本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝ ，则AC＝ ，

根据面积公式得 = ，根据余弦定理得

，代入上式得

=

由三角形三边关系有 解得 ，

故当 时取得 最大值

14. 对于 总有 ≥0 成立，则 = ▲ ．

本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论 取何值， ≥0显然成立；当x＞0 即 时， ≥0可化为，

设 ，则 ， 所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，因此 ，从而 ≥4；

当x＜0 即 时， ≥0可化为 ，

在区间 上单调递增，因此 ，从而 ≤4，综上 ＝4

4

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．如图，在平面直角坐标系 中，以 轴为始边做两个锐角 , ，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为 ．

（Ⅰ）求tan( )的值；

（Ⅱ）求 的值．

本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．

由条件的 ，因为 , 为锐角，所以 =

因此

（Ⅰ）tan( )=

（Ⅱ） ，所以

∵ 为锐角，∴ ，∴ =

16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，且E ,F分别是AB,BD 的中点，

求证：（Ⅰ）直线EF ‖面ACD ；

（Ⅱ）面EFC⊥面BCD ．

本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．

（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点，

∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF‖AD，

∵EF 面ACD ，AD 面ACD ，∴直线EF‖面ACD ．

（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF‖AD，∴ EF⊥BD.

∵CB=CD, F 是BD的中点，∴CF⊥BD.

又EF CF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD 面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．

17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,

CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为 km．

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO= (rad)，将 表示成 的函数关系式；

②设OP (km) ，将 表示成x 的函数关系式．

（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．

本小题主要考查函数最值的应用．

（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO= (rad) ，则 , 故

，又OP＝ 10－10ta ，

所以 ，

所求函数关系式为

②若OP= (km) ，则OQ＝10－ ，所以OA =OB=

所求函数关系式为

（Ⅱ）选择函数模型①，

令 0 得sin ，因为 ，所以 = ，

当 时， ， 是 的减函数；当 时， ， 是 的增函数，所以当 = 时， 。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边

km处。

18．设平面直角坐标系 中，设二次函数 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：

（Ⅰ）求实数b 的取值范围；

（Ⅱ）求圆C 的方程；

（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．

本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．

（Ⅰ）令 ＝0，得抛物线与 轴交点是（0，b）；

令 ，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为

令 ＝0 得 这与 ＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝ ．

令 ＝0 得 ＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．

所以圆C 的方程为 .

（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．

证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0 ＋1 ＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，

所以圆C 必过定点（0，1）．

同理可证圆C 必过定点（－2，1）．

19.（Ⅰ）设 是各项均不为零的等差数列（ ），且公差 ，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

①当n =4时，求 的数值；②求 的所有可能值；

（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列 ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．

本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．

（Ⅰ）①当n＝4 时， 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d＝0．

若删去 ，则有 即

化简得 ＝0，因为 ≠0，所以 =4 ；

若删去 ，则有 ，即 ，故得 =1．

综上 =1或－4．

②当n＝5 时， 中同样不可能删去首项或末项．

若删去 ，则有 ＝ ，即 ．故得 =6 ；

若删去 ，则 ＝ ，即 ．

化简得3 ＝0，因为d≠0，所以也不能删去 ；

若删去 ，则有 ＝ ，即 ．故得 = 2 ．

当n≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列 ， ， ，…， ， ， 中，

由于不能删去首项或末项，若删去 ，则必有 ＝ ，这与d≠0 矛盾；同样若删

去 也有 ＝ ，这与d≠0 矛盾；若删去 ，…， 中任意一个，则必有

＝ ，这与d≠0 矛盾．

综上所述，n∈．

（Ⅱ）略

20.若 ， ， 为常数，

且

（Ⅰ）求 对所有实数成立的充要条件（用 表示）；

（Ⅱ）设 为两实数， 且 ,若

求证： 在区间 上的单调增区间的长度和为 （闭区间 的长度定义为 ）．

本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用．

（Ⅰ） 恒成立

（*）

因为

所以，故只需 （*）恒成立

综上所述， 对所有实数成立的充要条件是：

（Ⅱ）1°如果 ，则的图象关于直线 对称．因为 ，所以区间 关于直线 对称．

因为减区间为 ，增区间为 ，所以单调增区间的长度和为

2°如果 .

（1）当 时. ，

当 ， 因为 ，所以 ，

故 =

当 ， 因为 ，所以

故 =

因为 ，所以 ，所以 即

当 时，令 ，则 ，所以 ，

当 时， ，所以 =

时， ，所以 =

在区间 上的单调增区间的长度和

=

（2）当 时. ，

当 ， 因为 ，所以 ，

故 =

当 ， 因为 ，所以

故 =

因为 ，所以 ，所以

当 时，令 ，则 ，所以 ，

当 时， ，所以 =

时， ，所以 =

在区间 上的单调增区间的长度和

=

综上得 在区间 上的单调增区间的长度和为